2019年上饶师范学院专升本《高等代数》考试大纲
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一、考试基本要求：
1. 掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算(乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量)，线性方程组解的判定及求解，多项式运算(带余除法，辗转相除法，综合除法)等。
2. 掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，一元多项式的整除性及因式分解。
3. 掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间，正交变换与正交矩阵,对称变换与对称矩阵。
一、考试内容
第一部分 多项式
1. 一元多项式的定义和基本运算;
2. 多项式的带余除法与综合除法，多项式整除性的常用性质;
3. 多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法;
4. 不可约多项式的概念及性质，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式;
5. 多项式函数与多项式的根的概念及性质;
6. 代数基本定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，Vieta定理;
7. 整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法;
第二部分 行列式
1. 线性方程组和行列式的关系，排列、n阶行列式及其子式和代数余子式;
2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法;
3. 克拉默法则;
第三部分 线性方程组
1. 线性方程组求解的消元法;
2. 向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关性的判定条件和性质，向量组的极大无关组;
3. 向量空间的基与维数;
4. 线性方程组可解的判别法;
5. 齐次线性方程组的解空间与基础解系;线性方程组的结构式通解;
6. 矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩;
第四部分 矩阵
1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则;
2. 逆矩阵概念，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质，求可逆矩阵的逆矩阵的方法;
3. 矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则;
第五部分 二次型
1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系;
2. 复数域和实数域上的二次型，用正交变换化实二次型为标准形的方法;
3. 正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件和性质;
第六部分 线性空间
1. 向量空间线性映射概念及其相关性质;
2. 线性变换的运算和矩阵的相似关系;
3. 子空间、不变子空间及其性质;
4. 子空间的直和;
5. 线性空间的同构及其性质;
第七部分 线性变换
1. 线性变换的定义及其运算;
2. 过渡矩阵及坐标变换式;
3. 方阵的特征值和特征向量;
4. 可以对角化的矩阵;
5. 线性变换的值域和核;
6. 不变子空间的定义及性质;
第八部分 欧几里得空间
1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基，Schmidt
正交化方法;
2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质;
3. 对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化。
参考文献
1. 北京大学数学系 《高等代数》(第四版) 高等教育出版社 2013
2. 张禾瑞，郝鈵新 《高等代数》(第四版) 高等教育出版社 1999
3. 丘维声 《高等代数》(第二版) 高等教育出版社 2003
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