专升本考试：中值定理与导数的应用（二）
中值定理与导数的应用(二)
6、函数的极值
如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。
定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定
设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f’’(x)
判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
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